Mapa Mental sobre Sistemas Lineares com exemplos e métodos de solução
Transcrição do Mapa Mental sobre SISTEMAS LINEARES
equação linear
• cada variável deve ter o expoente = a 1 e não pode haver multiplicação nem divisão entre as variáveis.
exemplos
• linear
3x = 5 termo independente
coeficiente da variável x
2x + y = 0 → equação linear homogênea
termo independente = a 0
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solução
• o par ordenado (5,2) é solução de 2x – 3y = 4
▹ 2 · 5 – 3 · 2 = 4
▹ 10 – 6 = 4
Sistema linear
• conjunto de equações lineares (2 ou mais) com as mesmas variáveis; ex:
{ 2x – y = 3
-x + y = -1 } sol = (2,1)
importante
▹ a solução de um sistema é a solução comum a todas as equações (do sistema)
Sistema 2×2
método da adição
{ 3x + 2y = 12
x – 3y = -7 · (-3)
{ 3x + 2y = 12
-3x + 9y = 21 +
11y = 33
y = 3
x – 3 · 3 = -7
x = -7 + 9 → x = 2
sol = (2,3)
Sistema 3×3 → escalonamento
{ n + 2y + z = 4
3y – z = 5
2z = 2
sistema escalonado
↳ formato de escada
como resolver: comece de baixo para cima: 2z = 2 ou seja z = 1
▹ segunda equação = 3y – 1 = 5
3y = 6 → y = 2
▹ primeira equação:
x + 2 · 2 + 1 = 4
x = 4 – 5 → x = -1
exemplo
{ x + 2y – z = 3
3x – y + z = 1
2x + 2y + 3z = -4
equação mais simples
→ você vai fixá-la e ela não sofrerá nenhuma alteração
você vai substituindo a variável.
como escalonar o sistema
▹ Procure a equação mais simples e fixe-a
▹ adicione a 1ª e a 2ª equação cortando o x para gerar uma nova equação
▹ faça o mesmo com a 1ª e a 3ª equação
▹ Fixe a nova equação 2
▹ adicione a nova eq. 2 e a 3 cortando o y para gerar a nova equação 3
Mapa Mental sobre Sistemas Lineares com conceitos, classificação e regra de Cramer
Transcrição do Mapa Mental sobre SISTEMAS lineares
Equação linear → Toda equação linear do tipo:
a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + … + aₙxₙ = c
a₁, a₂, a₃ … coeficientes reais são todos nulos.
x₁, x₂ … são incógnitas
c = termo independente
Um sistema linear é o conjunto de duas ou mais equações lineares. Designamos os sistemas lineares pelo número de equações de incógnitas que eles possuem.
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Cada equação possui as mesmas n incógnitas.
Resolução de um sistema linear: é um conjunto de valores que satisfaz ao mesmo tempo todas as equações.
CLASSIFICAÇÃO:
Sistema possível (SP)
Determinado (SPD) → uma única solução
Indeterminado (SPI)
Sistema impossível (SI) → nenhuma solução
Os sistemas homogêneos nunca serão SI, pois sempre admitem pelo menos a solução nula.
ESCALONAMENTO:
Consiste em levar o sistema a um formato de “escada”, ou seja, de equação para equação, no sentido de cima para baixo, há um aumento dos coeficientes nulos da esquerda para a direita. Para isso podemos realizar à vontade ações que não alteram a solução do sistema:
• trocar equações de posição;
• multiplicar uma equação por um número real qualquer;
• substituir equações pelo resultado da soma ou subtração dela mesma com outra equação do sistema.
REGRA DE CRAMER:
É uma alternativa ao escalonamento para solucionar sistemas lineares n x n; ela utiliza o conceito de matrizes. Exemplo: considere o sistema:
12x + 3y = 15
2x – 3y = 13
I) Calcular o determinante da matriz de coeficientes:
| 12 3 |
| 2 -3 |
II) Calcular Dx substituindo os coeficientes:
D = 12 * (-3) – 3 * 2 = -36 – 6 = -42